About TMyuki

趣味は数学(解析・情報)と手品.アーサー・ベンジャミン氏のような数学エンターテイメントが大好物.

Posts by TMyuki:

極限メモ#3(x^x の極限)

今回は次の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}~, \quad \lim_{x \to +0} x\log{x}~, \quad \lim_{x \to +0} x^x
\]

について考える.はじめの2つの極限は既知としてよい(必要に応じて用いてよい)とされていることも多いが,今回はあえて高校数学の範囲で納得できるような証明を与えてみる.もしかしたら循環論法になってしまっている箇所もあるかもしれないが,見つけたときはコメント・Twitter などで意見を貰えればありがたい.

なお,$x \to +0$ は $ x $ を 0 より大きい値から近づけていくことを表す.人によっては $x \downarrow 0$ などと表記することもあるようだが,私の場合は $x \to +0$ の記法を用いることにする.恒例の誘導問題つき記事である.

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積分メモ#2

今回は連続関数の定積分の性質についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求めてみる.

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パーフェクト・シャッフル#1

リフル・シャッフル(ウォーターフォール・シャッフル などともよばれる)は,カードをシャッフル(混ぜる)方法の1つで,テレビでマジシャンがよくやっている,2つに分けて,カードの端をパラパラと弾いて,交互に噛ませてシャー・・・というやつである.

このシャッフルを完璧に,すなわちキレイに2つに分け,カードを左右1枚のズレもなく噛みあわせてシャッフルすることを,パーフェクト・シャッフルという.今回はよく知られている事実「パーフェクト・シャッフルを繰り返すと初期の配置にもどる」についてのメモを載せる.

なお,本来のパーフェクト・シャッフルはカードの動きこそ同じだが,元となっているシャッフルの方法が異なる(ファロー・シャッフルという).墓穴を掘りそうなのでここではこれ以上言及しないが.

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極限メモ#1

今回は,極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n}
\]
の値を求める.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.この極限を求める際にある計算を利用するため,類似した問題を参考書などで見かけた人も少なくないかもしれない.以下,誘導小問と解答を載せる.

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n項間の漸化式#2

前回の記事「n項間の漸化式#1」では線形代数を用いたが,高校数学で作られた知人の解答を載せておく.問題は

漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1,~~~~~a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めよ.

である.以下の解答は隠しタグにしていないので,そのまま表示されることに注意.

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n項間の漸化式#1

$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.2項,3項間はチャート式にも載っているレベル.今回は 4項間漸化式とした.なお,線形代数(大学数学)の問題として用意したが,高校数学の範囲で答えを出されてしまった.偉大な知人に敬礼しつつ,改めて問題提示をする.

漸化式
\[
a_{n+3} =-2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n-1, \quad a_1 = 1,a_2 = 2,a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を求めてみよう.線形代数を用いた誘導を付けている.

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Maclaurin展開#1 指数関数(マクローリン――)

指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
\]
の形で表すことができる.ただし,形式的に
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
としてある.

この無限級数を得ることを Maclaurin(マクローリン)展開する,あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開するという.上の等式の証明は大学数学の内容だが,高校数学の範囲で限定的に($x \geqq 0$ の範囲で)やってみる.
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