Leibniz の公式

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円周率に関する Leibniz の公式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
と関連する級数の値の導出について，いくつかの手順をまとめた．

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x^x の極限

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以下の３つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x^x=1
\]

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた．

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順列を含む極限

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順列を含む以下の極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{4}{e}
\]
及び関連する式についてまとめた．ただし P は順列（permutation）の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である．

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指数関数のMaclaurin展開

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指数関数 $e^x$ が
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表せることを $x \geqq 0$ の範囲で示す手順をまとめた．

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1/(1+x^n)の定積分

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定積分

\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n} \quad (n=1,2,\cdots)
\]

について，$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値を変数変換と部分分数分解で計算した結果をまとめた．

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a^n/nの和

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無限級数

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} = \log{\frac{a}{a-1}} \qquad (a>1)
\]

を導出する手順をまとめた．導出の過程で次の結果も得られる：

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} = \log{(1+\tan^2{\theta})} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right)
\]

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Gauss積分：∫e^(-x^2) dx

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Gauss 積分
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\]
を Wallis 積分を用いて導出する方法をまとめた．

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Wallis積分：∫(sin x)^n dx, ∫(cos x)^n dx

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Wallis 積分
\[
W_m = \int_{0}^{\pi/2}\sin^m{x}\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^m{x}\,dx
\]
の性質と，Wallis の公式や関連する結果をまとめた．
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