2021年9月26日

空間内の３点を通る円

原点を $O (0, 0, 0)$ とする空間内の一直線上に並んでいない３点
$P_{1} (x_{1}, y_{2}, z_{3}), P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}), P_{3} (x_{3}, y_{3}, z_{3})$
を通る円 $C$ の中心 $C (c_{1}, c_{2}, c_{3})$ と半径 $r$ ，円弧のパラメータ表示を求める．

2020年2月8日

準有名角の三角比

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有名角（ $θ = 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ ）および準有名角（ $θ = 15^{\circ}, 18^{\circ}, 36^{\circ}, \dots$ ）を含む三角比の表と，準有名角の比を求め方をまとめる．

表が大きくなってしまうため， $0^{\circ} ≦ θ ≦ 45^{\circ}$ の範囲で作成する．

2020年1月13日

Fibonacci 数列

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漸化式
$F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}, F_{1} = F_{2} = 1$
で定まる Fibonacci 数列の性質をまとめた．

2018年5月11日

n項間の漸化式#3

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$4$ 項間の漸化式

$a_{n + 3} = a_{n + 2} + a_{n + 1} - a_{n}, a_{1} = 0, a_{2} = - 1, a_{3} = 1$

で定まる数列 ${a_{n}}$ の一般項を線形代数（行列）で求める．

この例では行列の対角化ができないため，Jordan 標準形を用いてべき乗を計算する．

2017年10月29日

Hadamard 積

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Hadamard 積（行列の成分どうしの積）について．

2017年5月17日

逆行列の公式

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逆行列補題（Woodbury の公式），Schur 補行列を用いたブロック行列の逆行列の表現，複素行列の実行列への埋め込みなど，正則行列の逆行列に関連したいくつかの定理・公式をまとめた．

2017年5月3日

行列の上三角化

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$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と，対応する固有空間の次元が一致するとき（あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき）， $A$ は対角化可能（diagonalizable）である．一方， $A$ が対角化可能でないときでも， $A$ を上三角化（triangular）することができる．すなわち

$P^{- 1} A P = [\begin{array}{ccccc} λ_{1} \\ λ_{2} & * \\ ⋱ \\ 0 & ⋱ \\ λ_{n} \end{array}]$

なる正則行列 $P$ が存在する．ここで $λ_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ は $A$ の固有値．

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが，実際に計算した例を見ることは少ない気がする．難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば，それが上三角化行列になるからだろうか．

今回は正則行列 $P$ によって（Jordan 標準形を前提とせずに）上三角行列を構成するための手順をまとめた．
$P$ が存在することの証明はせず，途中の計算も大幅に省略した．なお，さらに強い条件として $P$ を直交（ユニタリ）行列にすることもできる（Schur分解）．

2017年4月10日

n項間の漸化式#2

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$4$ 項間漸化式
$a_{n + 3} = - 2 a_{n + 2} + a_{n + 1} + 2 a_{n} - 1, a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3$
で定められる数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ の一般項を行列を使わないで求める手順を載せる．