代数学

n項間の漸化式#3

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$4$ 項間の漸化式

\[
a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1}-a_n, \quad a_1 = 0 , \ a_2 = -1 , \ a_3 = 1
\]

で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を線形代数（行列）で求める．

この例では行列の対角化ができないため，Jordan 標準形を用いてべき乗を計算する．

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行列の上三角化

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$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と，対応する固有空間の次元が一致するとき（あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき），$A$ は対角化可能（diagonalizable）である．一方，$A$ が対角化可能でないときでも，$A$ を上三角化（triangular）することができる．すなわち

\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する．ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値．

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが，実際に計算した例を見ることは少ない気がする．難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば，それが上三角化行列になるからだろうか．

今回は正則行列 $P$ によって（Jordan 標準形を前提とせずに）上三角行列を構成するための手順をまとめた．
$P$ が存在することの証明はせず，途中の計算も大幅に省略した．なお，さらに強い条件として $P$ を直交（ユニタリ）行列にすることもできる（Schur分解）．

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