logx/(a^n+x^n)の広義積分
整数 $n \geqq 2$ と実数 $a>0$ に対して成り立つ以下の等式
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log{x}}{x^n+a^n}\,dx = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}\left(\log{a}-\frac{\pi\cos{(\pi/n)}}{n\sin{(\pi/n)}}\right)
\]
の複素解析を用いた導出についてまとめた．
解析学
Basel 問題 #2
自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を，第 $2^n-1$ 部分和に着目して求める方法をまとめた．
この方法は J. Hofbauer (2000) を京都大学の大浦氏が改良したものであり，2020 年の慶応大学医学部の入試問題で出題された．
sinhの無限乗積展開
$\sinh$ の無限乗積展開
\[
\sinh{x} = x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \qquad (x > 0)
\]
と，関連する結果の導出方法をまとめた．
1/(n^(2m)+a^(2m))の和
正の整数 $m$ と $a > 0$ に対して，無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2m}+a^{2m}}
\]
の値を求める．
Dirichlet 積分：∫(sin x)/x dx
Dirichlet 積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}
\]
の導出と関連する（広義）積分についてまとめた．
1/(n^2+a^2)の和
$a > 0$ に対して，無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2}
\]
の値の導出と，関連する無限級数の値などを求める．