数学

n項間の漸化式#3

$4$ 項間の漸化式

\[
a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1}-a_n, \quad a_1 = 0 , \ a_2 = -1 , \ a_3 = 1
\]

で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項を線形代数(行列)で求める.

この例では行列の対角化ができないため,Jordan標準形を用いてべき乗を計算する.

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逆行列の公式

正則行列の逆行列,ブロック行列の性質に関連したいくつかの定理・公式についてのノート.

逆行列補題(Woodburyの公式),Schur補行列を用いたブロック行列の逆行列の表現,複素行列の実行列への埋め込みなどをまとめる.

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Stirlingの公式

Stirling の公式(Stirling の近似)は,$n!$ の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその1つである

\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]

を導出する方法についてのメモ.

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行列の上三角化

$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と,対応する固有空間の次元が一致するとき(あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき),$A$ は対角化可能(diagonalizable)である.一方,$A$ が対角化可能でないときでも,$A$ を上三角化(triangular)することができる.すなわち

\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する.ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値.

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが,実際に計算した例を見ることは少ない気がする.難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば,それが上三角化行列になるからだろうか.

今回は正則行列 $P$ によって(Jordan 標準形を前提とせずに)上三角行列を構成するための手順をまとめた.
$P$ が存在することの証明はせず,途中の計算も大幅に省略した.なお,さらに強い条件として $P$ を直交(ユニタリ)行列にすることもできる(Schur分解).

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Mercator級数

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \cdots
\]
は Mercator級数 と呼ばれ,その値は $\log{2}$ に収束することが知られている.このノートではMercator級数と関連する級数の値の導出について,いくつかの手順をまとめる.

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Basel問題

Basel 問題は自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を求める問題である.この級数の和が $\pi^2/6$ に収束することを高校数学の範囲で示す方法についてまとめる.

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Leibniz の公式

円周率と無限和に関する等式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
を Leibnizの公式 という.このノートにはLeibnizの公式と関連する級数の値の導出について,いくつかの手法をまとめる.

 

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