数学

x^x の極限

このノートには以下の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x^x=1
\]

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた.

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順列を含む極限

このノートでは順列を含む以下の極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{4}{e}
\]
及び関連する式についてまとめる.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

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n項間の漸化式#2

このノートには $4$ 項間漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を行列を使わないで求める手順を載せる.

行列を用いた一般的な解法は以下のノートで扱っている:

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n項間の漸化式

このノートでは線形代数(行列)を用いて $n$ 項間の漸化式で定まる数列について,

\[
a_{n+3} = p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_n + s \tag{$\diamondsuit$}
\]

の形の $4$ 項間漸化式を例にして,一般項を求める方法を載せる.

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a^n/nの和

このノートには
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} = \log{\frac{a}{a-1}} \qquad (a>1) \tag{$\clubsuit$}
\]
を示す手順をまとめた.式 $(\clubsuit)$ を示すための過程で以下の結果も得られる:
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} = \log{(1+\tan^2{\theta})} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) \tag{$\heartsuit$}
\]

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