三角形の重心・外心・内心・垂心の位置ベクトル
空間内の三角形 $\triangle \textrm{ABC}$ の各頂点の位置ベクトルを用いて，三角形の重心，外心，内心，垂心の位置ベクトルを表現することを考える．
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三角形と位置ベクトル
空間内の三角形 $\triangle \textrm{ABC}$ の各頂点の位置ベクトルを用いて，三角形と同じ平面上にある任意の点 $\textrm{P}$ の位置ベクトルを表現することを考える．
空間内の３点を通る円
原点を $\textrm{O}(0,0,0)$ とする空間内の一直線上に並んでいない３点
\[
\textrm{P}_1(x_1, y_2, z_3), \ \textrm{P}_2(x_2, y_2, z_2), \ \textrm{P}_3(x_3, y_3, z_3)
\]
を通る円 $C$ の中心 $\textrm{C}(c_1, c_2, c_3)$ と半径 $r$，円弧のパラメータ表示を求める．
logx/(a^n+x^n)の広義積分
整数 $n \geqq 2$ と実数 $a>0$ に対して成り立つ以下の等式
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log{x}}{x^n+a^n}\,dx = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}\left(\log{a}-\frac{\pi\cos{(\pi/n)}}{n\sin{(\pi/n)}}\right)
\]
の複素解析を用いた導出についてまとめた．
Basel 問題 #2
自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を，第 $2^n-1$ 部分和に着目して求める方法をまとめた．
この方法は J. Hofbauer (2000) を京都大学の大浦氏が改良したものであり，2020 年の慶応大学医学部の入試問題で出題された．
sinhの無限乗積展開
$\sinh$ の無限乗積展開
\[
\sinh{x} = x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) \qquad (x > 0)
\]
と，関連する結果の導出方法をまとめた．
1/(n^(2m)+a^(2m))の和
正の整数 $m$ と $a > 0$ に対して，無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2m}+a^{2m}}
\]
の値を求める．