logx/(a^n+x^n)の広義積分

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整数 $n\geqq 2$ と実数 $a>0$ に対して成り立つ以下の等式
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^n+a^n}dx=\frac{\pi }{n{a}^{n-1}\sin (\pi /n)}(\log a-\frac{\pi \cos (\pi /n)}{n\sin (\pi /n)})$$
の複素解析を用いた導出についてまとめた．

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1/(a^n+x^n)の広義積分

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$a>0$ に対して，広義積分

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{a^n+x^n}$$

の値を求める．

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Basel 問題 #2

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自然数の平方数の逆数の和
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots$$
を，第 $2^n-1$ 部分和に着目して求める方法をまとめた．

この方法は J. Hofbauer (2000) を京都大学の大浦氏が改良したものであり，2020 年の慶応大学医学部の入試問題で出題された．

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sinhの無限乗積展開

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$\sinh$ の無限乗積展開

$$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})(x>0)$$

と，関連する結果の導出方法をまとめた．

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1/(n^(2m)+a^(2m))の和

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正の整数 $m$ と $a>0$ に対して，無限級数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2m}+a^{2m}}$$

の値を求める．

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