無限級数・広義積分に関する定理#2
無限級数・広義積分の計算でよく用いる定理のうち，複素積分や留数定理に関連するものをまとめた．
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Dirichlet 積分：∫(sin x)/x dx
Dirichlet 積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x} \,dx = \frac{\pi}{2}
\]
の導出と関連する（広義）積分についてまとめた．
1/(n^2+a^2)の和
$a > 0$ に対して，無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+a^2}
\]
の値の導出と，関連する無限級数の値などを求める．
Stirling の公式
Stirling の近似公式の１つ
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n} = 1
\]
を Wallis 積分を利用して導出する方法についてまとめた．
行列の上三角化
$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と，対応する固有空間の次元が一致するとき（あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき），$A$ は対角化可能（diagonalizable）である．一方，$A$ が対角化可能でないときでも，$A$ を上三角化（triangular）することができる．すなわち
\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]
なる正則行列 $P$ が存在する．ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値．
この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが，実際に計算した例を見ることは少ない気がする．難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば，それが上三角化行列になるからだろうか．
今回は正則行列 $P$ によって（Jordan 標準形を前提とせずに）上三角行列を構成するための手順をまとめた．
$P$ が存在することの証明はせず，途中の計算も大幅に省略した．なお，さらに強い条件として $P$ を直交（ユニタリ）行列にすることもできる（Schur分解）．