無限級数メモ#2

無限級数

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 2^n},~~~~~~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \cdot 4^n} \]

の値を求めてみよう.誘導付きの問題形式にしてある.また,他にも幾つかの無限級数の値を求められるよう,拡張した形で計算を行う.

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無限級数メモ#1

以前に知人が数学書の中から見つけた無限級数に関するメモ.出典はおそらくRamanujan(ラマヌジャン)だったと思われる.Yahoo知恵袋 などで教えていただいた解答とともに残しておく.

Question 1

    \begin{eqnarray*} \log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) \\  + \left( \frac{1}{2\log{2}} - \frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} - \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}} \end{eqnarray*}

を示せ.

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Gauss関数(ガウス――)

確率論,統計学の正規分布の確率密度などに現れるGauss関数と,Gauss積分

    \[  \lim_{R \to \infty}\int_{-R}^{R}e^{-x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx \]

についてのメモ.Gauss積分は広義積分(大学レベル)であり,大学生の知識で簡単に計算できてしまうが,高校数学の範囲に制限して(無茶ともいう)考えてみた.かなり怪しい箇所が散見しているが,とりあえずよしとする.

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