n項間の漸化式#1

$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.

$2$ 項間,$3$ 項間の漸化式の解法はよく知られているが,今回は線形代数(大学数学)を用いて

\[
a_{n+3} = p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_n + s \tag{$\diamondsuit$}
\]

の形の $4$ 項間漸化式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める.

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Maclaurin展開#1 指数関数

指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表すことができる.ただしここでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える.この右辺の級数を得ることを,指数関数 $e^x$ を Maclaurin(マクローリン)展開(あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開)する という.上の等式は任意の実数で成り立つことが知られているが,今回は $x \geqq 0$ の場合に成り立つことを高校数学の範囲で示す手順についてのメモ.

 

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積分メモ#1

今回は次の定積分を力技で求めたときのメモ.部分分数分解の練習になった.$\tan^{-1}{x}$ の記法は使わずに,すべて $x = \tan{t}$ のような変数変換を用いている.

Question1

数列 $\{a_n\} \quad (n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}
\]
で定める.$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ.

 

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無限級数メモ#2

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} \qquad (a>0) \tag{$\clubsuit$}
\]
の値を高校数学の範囲で求めるための計算メモ.級数 $(\clubsuit)$ を求めるために,まず
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) \tag{$\heartsuit$}
\]
を考える.

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無限級数メモ#1

出典は(おそらく)Ramanujan(ラマヌジャン)と思われる無限級数に関するメモ.

Question 1

\[
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\]

を示せ.

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Gauss積分

Gauss積分は確率論や統計学の正規分布に現れる,指数関数 $e^{-x^2}$ に関する(広義)積分である.今回はGauss積分の計算を高校数学レベルで導出する方法についてのメモ.導出にはWallis積分を用いる.

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