積分メモ#2

今回は対称性をもつ連続関数の性質を用いた定積分についての簡単なメモ.具体的には,次のような定積分

\[
\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{4-x}} \,dx ~, \quad \int_{0}^{\pi} \frac{x\sin^3{x}}{4-\cos^2{x}}\,dx
\]

の値を求める.

続きを読む

スポンサーリンク

パーフェクト・シャッフル#1

リフル・シャッフル(ウォーターフォール・シャッフル などともよばれる)は,カードをシャッフル(混ぜる)方法の1つで,テレビでマジシャンがよくやっている,2つに分けて,カードの端をパラパラと弾いて,交互に噛ませてシャー・・・というやつである.

このシャッフルを完璧に,すなわちキレイに2つに分け,カードを左右1枚のズレもなく噛みあわせてシャッフルすることを,パーフェクト・シャッフルという.今回はよく知られている事実「パーフェクト・シャッフルを繰り返すと初期の配置にもどる」についてのメモを載せる.

なお,本来のパーフェクト・シャッフルはカードの動きこそ同じだが,元となっているシャッフルの方法が異なる(ファロー・シャッフルという).墓穴を掘りそうなのでここではこれ以上言及しないが.

続きを読む

スポンサーリンク

n項間の漸化式#2

前回の記事「n項間の漸化式#1」では漸化式
\[
a_{n+3} = -2a_{n+2} + a_{n+1} + 2a_n – 1, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2, \quad a_3 = 3
\]
で定められる数列 $\{a_n\} \quad (n=1,2,3,\ldots)$ の一般項を線形代数(大学数学)を用いて求めた.今回は一般的な手法ではないが,高校数学の議論だけで一般項を求めた解答についてのメモ.

続きを読む

n項間の漸化式#1

$n$ 項間漸化式から数列の一般項を求める問題を考える.

$2$ 項間,$3$ 項間の漸化式の解法はよく知られているが,今回は線形代数(大学数学)を用いて

\[
a_{n+3} = p a_{n+2} + q a_{n+1} + r a_n + s \tag{$\diamondsuit$}
\]

の形の $4$ 項間漸化式を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める.

続きを読む

Maclaurin展開#1 指数関数

指数関数 $e^x$ は
\[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \tag{$\spadesuit$}
\]
の形で表すことができる.ただしここでは
\[
0! = 1, \quad 0^0 = 1
\]
と考える.この右辺の級数を得ることを,指数関数 $e^x$ を Maclaurin(マクローリン)展開(あるいは $x=0$ の周りで Taylor(テイラー)展開)する という.上の等式は任意の実数で成り立つことが知られているが,今回は $x \geqq 0$ の場合に成り立つことを高校数学の範囲で示す手順についてのメモ.

 

続きを読む

積分メモ#1

今回は次の定積分を力技で求めたときのメモ.部分分数分解の練習になった.$\tan^{-1}{x}$ の記法は使わずに,すべて $x = \tan{t}$ のような変数変換を用いている.

Question1

数列 $\{a_n\} \quad (n = 1,2,3,\ldots)$ を
\[
a_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^n}
\]
で定める.$a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_6$ の値をそれぞれ求めよ.

 

続きを読む

無限級数メモ#2

無限級数
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} \qquad (a>0) \tag{$\clubsuit$}
\]
の値を高校数学の範囲で求めるための計算メモ.級数 $(\clubsuit)$ を求めるために,まず
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) \tag{$\heartsuit$}
\]
を考える.

続きを読む

無限級数メモ#1

出典は(おそらく)Ramanujan(ラマヌジャン)と思われる無限級数に関するメモ.

Question 1

\[
\log{2}\left(\frac{1}{2\log{2}\log{4}} + \frac{1}{3\log{3}\log{6}} + \frac{1}{4\log{4}\log{8}} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{2\log{2}}-\frac{1}{3\log{3}} + \frac{1}{4\log{4}} – \frac{1}{5\log{5}} + \cdots \right) = \frac{1}{\log{2}}
\]

を示せ.

続きを読む