Leibniz の公式

円周率に関する Leibniz の公式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
と関連する級数の値の導出について,いくつかの手順をまとめた.

 

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x^x の極限

以下の3つの極限

\[
\lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x\log{x}=0 , \quad
\lim_{x \to +0} x^x=1
\]

をl’Hospitalの定理を用いずに示す手順をまとめた.

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順列を含む極限

順列を含む以下の極限
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{{}_{2n}{\rm P}_{n}}}{n} = \frac{4}{e}
\]
及び関連する式についてまとめた.ただし P は順列(permutation)の記号で
\[
{}_{n}{\rm P}_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}
\]
である.

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a^n/nの和

無限級数

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n a^n} = \log{\frac{a}{a-1}} \qquad (a>1)
\]

を導出する手順をまとめた.導出の過程で次の結果も得られる:

\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2n}{\theta}}{n} = \log{(1+\tan^2{\theta})} \qquad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right)
\]

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