Stirlingの公式(スターリング――)

Stirling の公式(Stirling の近似)は,$n!$ の値を近似する公式である.近似の精度に応じていくつかの種類があるが,今回はその一つ,
\[
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
\]
についてのメモ.

なお,今回の内容は 大阪大学 数学科 挑戦枠 の2015入試の問題 を改題したものを利用している.

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行列の上三角化

$n$ 次実正方行列 $A$ の各固有値の重複度と,対応する固有空間の次元が一致するとき(あるいは $A$ が $n$ 個の1次独立な固有ベクトルをもつとき),$A$ は対角化可能(diagonalizable)である.一方,$A$ が対角化可能でないときでも,$A$ を上三角化(triangular)することができる.すなわち

\[
P^{-1}AP = \left[
\begin{array}{ccccc}
\lambda_1 & & & & \\
&\lambda_2 & & \ast &\\
& & \ddots & \\
& 0 & & \ddots & \\
& & & & \lambda_n
\end{array}
\right]
\]

なる正則行列 $P$ が存在する.ここで $\lambda_i~~(i = 1,2,\ldots ,n)$ は $A$ の固有値.

この $P$ が存在することを証明したものはよく見かけるが,実際に計算した例を見ることは少ない気がする.難しいことは考えずにとりあえず Jordan 標準形を構成してしまえば,それが上三角化行列になるからだろうか.

今回は正則行列 $P$ によって Jordan 標準形ではない上三角行列を構成する必要がある場合のための計算メモ.
$P$ が存在することの証明はせず,途中の計算も大幅に省略した.時間があればいずれ追記するかもしれない.なお,さらに強い条件として $P$ を直交(ユニタリ)行列にすることもできる(Schur分解).

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人口予測のモデル#2

前回の記事では Malthus による人口予測のモデルを扱った.前回のモデルには多くの問題点があったが,そのなかの一つ,人口が限りなく増加してしまうという点について,1837年にオランダの生物学者 Verhulst(フェルフルスト)が 人口過密 を考慮に入れた修正を提案した.

Model 2.1(Verhulst の人口モデル)
時刻 $t$ におけるある国の総人口 $N = N(t)$ は,時刻 $t=0$ における人口 $N_0$ と定数 $\gamma , M$ を用いて
\[
N = \frac{M}{1 + \left(\frac{M}{N_0}-1\right)e^{-\gamma t}}
\]
と表されると予測できる.

 

今回はこのモデルについてのメモ.
 
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人口予測のモデル#1

英国の経済学者 Malthus(マルサス)は,1798 年出版の「人口論」において,次のようなアイデアを提案した.

Model 1.1(Malthus の人口モデル)

時刻 $t$ におけるある国の総人口 $N = N(t)$ は,時刻 $t=0$ における人口 $N_0$ と定数 $\gamma$ を用いて
\[
N = N_0e^{\gamma t}
\]
と表されると予測できる.

 

もちろん実際の人口はここまで単純な数式で完全に表現することはできないだろうが,微分方程式と数学モデル,という意味では良い例だと考えられる.今回はこのモデルについてのメモ.

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Maclaurin展開#2 対数関数

自然対数関数 $\log{(1+x)}$ は $-1 < x \leqq 1 $ において
\[
\log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
\]
の形で表すことができる.これが $\log{(1+x)}$ の Maclaurin(マクローリン)展開(もしくは $x=0$ の周りでの Taylor(テイラー)展開)である.高校数学の範囲で $x \geqq 0$ の範囲 について示してみる.また,その結果を利用して, Mercator 級数(メルカトル――)
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \cdots
\]
の値を求める.

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Basel問題

Basel 問題は自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を求める問題である.この級数の和が $\pi^2/6$ に収束することを高校数学の範囲で示す方法についてまとめる.

補足(click)

Basel問題の一般化の1つとして,Riemann(リーマン)によって
\[
\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \qquad \text{( $s$ は複素数)}
\]
が与えられている.この関数はRiemann zeta関数とよばれ,$s$ が実数であれば $s > 1$ で収束することが知られている.Basel 問題は $s = 2$ , すなわち $\zeta(2)$ の値を求める問題である.

 

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Leibniz の公式

円周率と無限和に関する等式
\[
1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}
\]
を Leibnizの公式 という.ここでは上の式をLeibnizの公式,左辺の級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \cdots
\]
をGregory-Leibniz級数とよぶことにする.今回はLeibnizの公式と関連する級数の値の導出について,いくつかの手法をまとめる.

 
補足(click)

GregoryはLeibnizと同じ時期に,上の等式を独立に発見したとされるが,実はその300年前にMādhavaによって発見されていたことから,左辺をMādhavaの級数とよぶこともある.

また,Leibnizの公式は次の法則をさす場合がある:

Theorem(Leibniz Rule)

$n$ 回微分可能な関数 $f(x), \, g(x)$ に対して
\[
\frac{d^n}{dx^n} \biggl(f(x)g(x)\biggr) = \sum_{r=0}^{n}{}_{n}\textrm{C}_{r}f(x)^{r}g(x)^{n-r}
\]
が成り立つ.

 

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