logx/(a^n+x^n)の広義積分

整数 $n \geqq 2$ と実数 $a>0$ に対して成り立つ以下の等式
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log{x}}{x^n+a^n}\,dx = \frac{\pi}{na^{n-1}\sin{(\pi/n)}}\left(\log{a}-\frac{\pi\cos{(\pi/n)}}{n\sin{(\pi/n)}}\right)
\]
の複素解析を用いた導出についてまとめた.

 

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Basel 問題 #2

自然数の平方数の逆数の和
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots
\]
を,第 $2^n-1$ 部分和に着目して求める方法をまとめた.

この方法は J. Hofbauer (2000) を京都大学の大浦氏が改良したものであり,2020 年の慶応大学医学部の入試問題で出題された.

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