Maclaurin展開#2 対数関数

自然対数関数 \log{(1+x)}-1 < x \leqq 1 において

    \[ \log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n \]

の形で表すことができる.これが \log{(1+x)} の Maclaurin(マクローリン)展開(もしくは x=0 の周りでの Taylor(テイラー)展開)である.高校数学の範囲で x \geqq 0 の範囲 について示してみる.また,その結果を利用して, Mercator 級数(メルカトル――)

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots \]

の値を求める.

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Basel問題(バーゼル――)

Basel 問題は 自然数の平方数の逆数すべての和

    \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \]

を求める問題である.この級数の和が \frac{\pi^2}{6} に収束することを,高校数学の範囲で示す方法についてのメモ.

なお,今回の手法については 日本女子大学 理学部 数学科 の2003推薦入試の問題 を改題したものを利用している.

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極限メモ#3(x^x の極限)

今回は次の3つの極限

    \[ \lim_{x \to \infty}\frac{\log{x}}{x}~,~~~\lim_{x \to +0} x\log{x}~,~~~\lim_{x \to +0} x^x \]

について考える.はじめの2つの極限は既知としてよい(必要に応じて用いてよい)とされていることも多いが,今回はあえて高校数学の範囲で納得できるような証明を与えてみる.もしかしたら循環論法になってしまっている箇所もあるかもしれないが,見つけたときはコメント・Twitter などで意見を貰えればありがたい.

なお,x \to +0x を 0 より大きい値から近づけていくことを表す.人によっては x \downarrow 0 などと表記することもあるようだが,私の場合は x \to +0 の記法を用いることにする.恒例の誘導問題つき記事である.

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パーフェクト・シャッフル#1

リフル・シャッフル(ウォーターフォール・シャッフル などともよばれる)は,カードをシャッフル(混ぜる)方法の1つで,テレビでマジシャンがよくやっている,2つに分けて,カードの端をパラパラと弾いて,交互に噛ませてシャー・・・というやつである.

このシャッフルを完璧に,すなわちキレイに2つに分け,カードを左右1枚のズレもなく噛みあわせてシャッフルすることを,パーフェクト・シャッフルという.今回はよく知られている事実「パーフェクト・シャッフルを繰り返すと初期の配置にもどる」についてのメモを載せる.

なお,本来のパーフェクト・シャッフルはカードの動きこそ同じだが,元となっているシャッフルの方法が異なる(ファロー・シャッフルという).墓穴を掘りそうなのでここではこれ以上言及しないが.

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暇つぶし問題演習#1

とくに分野や内容に縛られず,なんとなく思いついた問題のメモ.ありがちな問題設定になることもあるだろうし,難易度の差もかなり出てくるだろうが,適当に載せていく.もっとも中身のない記事になる予感.

Question 1
放物線 P:y = x^2 + (2\sqrt{2} - 1)x + 2 ,円 C:x^2 + y^2 = 4,点 A (-\sqrt{2},~\sqrt{2}) , 点 B (0,2) として,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 Px = -\sqrt{2} における接線の方程式を求めよ.

(2) 放物線 P と円 C ,2点 A,B を同じ座標平面上に図示せよ.

(3) 直線 OA , 直線 OB , 円 C で囲まれた扇形の面積を求めよ.ここで,O は原点 (0,0) である.

(4) 放物線 P と直線 AB によって囲まれた領域の面積を求めよ.

(5) 放物線 P と円 C によって囲まれた領域の面積を求めよ.

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